1 基本数论

奇偶性

加减乘除对奇偶性的判断

• 奇数+/-偶数=奇数
• 同奇同偶相加减结果是偶数
  • 和为奇数，奇数的个数为偶数
• 乘项中之要有偶数 ，乘积一定是偶数
  • 乘积为偶数，偶数大于等于1个
• a/b = even → a = b*even, a是b的倍数

奇偶性的性质

• 指数不影响奇偶性: $a^{n}$与$a$的奇偶性相同
• n^2^+n = n(n+1)
• n^2^-n = n(n-1)
• 相邻整数肯定是一个奇数一个偶数
  • n和(n+奇数)奇偶性相反
  • n和(n+偶数)奇偶性相同

质因数

质数（prime nember）：因数（factor，divisor）只有1和它自己

• 其余的数字称为合数（composite number），至少有三个因数
• 1不是质数

分解质因数：题目中出现比较大的数值

• 10→2$\times$5

质数的性质：

• 一个数字有三个正因数→质数^2^
• 质数的奇偶性：2是唯一的偶数，其它的质数都是奇数

因数的性质：

• 如果B是A的因数，则B能被A完全包含
  • A/B = integer，B因式分解后所有的因数都被A包含，A包含B

质因数和因数的个数

• 质因数的个数：因式分解之后观察有多少个底数
• 正因数的个数：分解成为质因数相乘的形式后看指数，指数+1再相乘

最大公约数和最小公倍数

最大公约数：greatest common factor/divisor

1. 分解质因数
2. 取公因数的最低次幂相乘

最小公倍数：least common multiple

1. 分解质因数
2. 取每一个因数的最高次幂相乘

连续正整数

连续正整数：consecutive positive integers

• 连续正整数公差为1
• 两个连续正整数相乘必然为偶数（2 的倍数）
• 3个连续正整数相乘一定是6的倍数
• 两个连续偶数相乘一定是8的倍数

周期规律

• 一个数x可以被a整除，x±a仍然可以被a整除

整数和余数（remainder）

• 余数 < 除数
• 余数 ≥ 0
• 计算余数的时候不能约分
• 找余数的周期规律

余数的定义

• 除法运算中的小数部分 $\times$ 除项 = 余数

公式表达：

• a除以b，余数是c → $a = bn+c$，n是一个整数
• 一个数字可以通过两个表达式表达的时候，确定新的通项公式
  • 确定新的b：$b_{1}$与$b_{2}$的最小公倍数
  • 确定新的c：尝试不同的n值，找到同时符合原先两个表达式的数字
• 除以一个个位数求余数：看原本数字的个位
• 除以一个十位数求余数：看原本数字的十位和个位
• 能被2整除的数：个位数字是2，4，6，8，0的整数
• 能被5整除的数：个位是0或5
• 能被3，9整除的数：各个数位的数字之和能够被3，9整除
• 能被4整除的数：末两位数能被4整除
• 能被8整除的数：末三位数能被8整除
• 0是任何数字的倍数（数个数的题）

指数的位数循环：

• 除以5或10的时候确定余数：只看个位数，只用个位数去除（xyz = 100x + 10y + z）
• 或者多算几个数字找到周期